「NOIP雅礼」施工
感觉很可做,可半天想不出来,有点难度。

Description

YY 家门前有一条街道, 街道上顺序排列着 nn 幢建筑, 其中左起第 ii 幢建筑的高度为 hih_i .

YY 定义街道的不美观度为所有相邻建筑高度差的绝对值之和乘上常数 cc, 为了改善街道环境, 政府决定进行施工

施工队会选择一些建筑并提升它们的高度, 如果一幢建筑最终高度增加了 tt, 则需要花费 t2t ^{2} 的人力.

YY 非常好奇, 施工完成后街道的不美观度与施工队花费的人力之和最小为多少.

Constraints

n,hi,c106n,h_i,c\le 10^{6}

Solution

fif_{i} 表示考虑前 ii 个建筑, 并且第 ii 个建筑的高度不变的答案, 每次转移时枚举上一个不变的建筑编号, 中间的一段一定变成相同的高度(如果高度不同显然不会更优), 并且高度小于等于两端的高度(如果大于两端的高度的话显然会在iii之前被转移).

假设从 fjf_j 转移且中间高度为 tt, 则:

fi=k=j+1i1(thk)2+c(h[j]+h[i]2t)f_i = \sum_{k=j+1}^{i-1} (t-h_k)^2 + c(h[j] + h[i] - 2t)

这是一个关于 tt 的二次函数

fi=(ji1)t2(2k=j+1i1hk2)t+k=j+1i1hk2c(h[j]+h[i])f_{i}=(j-i-1)t^{2}-(2\sum_{k=j+1}^{i-1}h_{k}-2)t+\sum_{k=j+1}^{i-1}h_{k}^{2}-c(h[j]+h[i])

这样中间的高度可以 O(1)O(1) 求二次函数的对称轴确定.

考虑优化转移, 因为中间高度要小于两端, 所以最多只有一个 hj>hih_j > h_ijj 能够转移.

可以维护关于高度的单调栈, 这样有效的转移次数就是 O(n)O(n) 的.

补充:对于 (1),我们显然可以让黄色块上升一个不超过左右两边块的高度使得花费更少。对于 (2),同样地若要更新两白块之间的最大值,那么首先两黄色块要等高(即合并成一个块),并且其他情况(高的块不动)已经在之前算过了。 (感谢@fffeiya讲解)

10.02-construct.png

Code

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define rep(i,a,b) for(re i=a;i<=b;++i)
#define _ 0
#define inf 0x7f7f7f7f
template <class T>inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
x*=f;
}
const int N = 1000005;
typedef long long ll;
int n, c, h[N];
long long f[N], sum[N], sum2[N];
int sta[N], top;

inline ll calc(int l, int r, int H) {
ll a = r-l-1;
ll b = -2*(sum[r-1]-sum[l])-(l!=0)*c-(r!=n+1)*c;
ll k = sum2[r-1]-sum2[l]+1ll*(l!=0)*h[l]*c+1ll*(r!=n+1)*h[r]*c;
ll x = -(ll)round(1.0*b/2.0/a);
x = max(x,(ll)H);
x = min(x,min((ll)h[l],(ll)h[r]));
return a*x*x+b*x+k;
}

int main() {
read(n), read(c);
h[0]=h[n+1]=inf;
rep(i,1,n) read(h[i]),sum[i]=sum[i-1]+h[i],sum2[i]=sum2[i-1]+(ll)h[i]*h[i];
sta[++top]=0;
rep(i,1,n+1) {
f[i] = f[i-1];
if(i!=1&&i!=n+1) f[i]+=1ll*abs(h[i]-h[i-1])*c;
while(top && h[sta[top]]<=h[i]) {
if(top>1)
f[i]=min(f[i], f[sta[top-1]]+calc(sta[top-1],i,h[sta[top]]));
--top;
}
sta[++top] = i; //单调栈
}
printf("%lld\n", f[n+1]);
return ~~(0^_^0);
}